Công thức cấp số cộng: Cách tính số hạng, tổng và bài tập minh họa

Cấp số cộng là gì?

Cấp số cộng là một dãy số mà từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng được tạo thành bằng cách cộng số hạng đứng ngay trước nó với cùng một số cố định. Giá trị cố định đó được gọi là công sai và thường ký hiệu là dd.

Ví dụ, dãy:

2; 5; 8; 11; 14; …

là một cấp số cộng vì:

5 – 2 = 3
8 – 5 = 3
11 – 8 = 3

Như vậy, công sai của dãy số trên là d = 3.

Ngược lại, dãy 1; 3; 6; 10; 15; … không phải cấp số cộng vì hiệu giữa hai số hạng liên tiếp không giữ nguyên.

Các đặc điểm cơ bản của cấp số cộng

Một cấp số cộng thường được biểu diễn dưới dạng:

u₁; u₂; u₃; …; uₙ; …

Trong đó:

• u1u_1 là số hạng đầu tiên.
• unu_n là số hạng thứ n.
• dd là công sai.
• nn là vị trí của số hạng cần tìm.

Điều kiện để một dãy số là cấp số cộng:

uₙ₊₁ = uₙ + d

Hay có thể viết:

uₙ₊₁ – uₙ = d

với dd là một hằng số không đổi.

Từ điều kiện này, ta có thể nhận biết cấp số cộng bằng cách tính hiệu của hai số hạng liên tiếp. Nếu các hiệu đều bằng nhau thì dãy số đó là cấp số cộng.

Công thức cấp số cộng cần nhớ

Để giải các bài toán liên quan đến cấp số cộng, có một số công thức quan trọng mà học sinh cần nắm chắc.

Công thức tính số hạng tổng quát

Số hạng thứ nn của cấp số cộng được tính theo công thức:

uₙ = u₁ + (n – 1)d

Trong đó:

• unuₙ: số hạng thứ n.
• u1u₁: số hạng đầu.
• nn: vị trí của số hạng.
• dd: công sai.

Công thức cấp số cộng này cho phép tìm trực tiếp một số hạng bất kỳ mà không cần tính lần lượt toàn bộ các số đứng trước.

Ví dụ:

Cho cấp số cộng có u1=4u₁ = 4, d=3d = 3. Tìm u10u_{10}.

Áp dụng công thức:

u10=4+(10−1)×3u_{10} = 4 + (10 – 1) × 3

u10=4+27=31u_{10} = 4 + 27 = 31

Vậy số hạng thứ 10 là 31.

Công thức tính công sai

Từ công thức cấp số cộng số hạng tổng quát, có thể xác định công sai khi biết hai số hạng:

d = (uₙ – u₁)/(n – 1)

Ngoài ra, nếu biết hai số hạng bất kỳ umu_m và unu_n, ta có:

d = (uₙ – uₘ)/(n – m)

Ví dụ:

Một cấp số cộng có u3=10u_3 = 10 và u8=25u_8 = 25. Tìm công sai.

Ta có:

d=(25−10)/(8−3)=15/5=3d = (25 – 10)/(8 – 3) = 15/5 = 3

Vậy d = 3.

Công thức tính tổng cấp số cộng

Tổng nn số hạng đầu tiên của cấp số cộng được tính bằng:

Sₙ = n(u₁ + uₙ)/2

Trong đó SnS_n là tổng của nn số hạng đầu tiên.

Nếu chưa biết unu_n, có thể thay công thức số hạng tổng quát vào để được:

Sₙ = n[2u₁ + (n – 1)d]/2

Hai công thức trên có giá trị tương đương. Tùy dữ kiện bài toán, bạn có thể chọn công thức thuận tiện hơn.

Ví dụ:

Cho cấp số cộng:

3; 7; 11; 15; …

Tính tổng 20 số hạng đầu tiên.

Ta có:

u1=3u₁ = 3

d=4d = 4

Trước tiên tìm số hạng thứ 20:

u20=3+(20−1)×4=79u₂₀ = 3 + (20 – 1) × 4 = 79

Khi đó:

S20=20(3+79)/2S₂₀ = 20(3 + 79)/2

S20=820S₂₀ = 820

Vậy tổng 20 số hạng đầu tiên bằng 820.

Cách xác định một dãy có phải cấp số cộng hay không

Đây là dạng bài thường gặp trong các bài kiểm tra. Cách làm tương đối đơn giản: lấy một số hạng phía sau trừ số hạng ngay trước nó.

Ví dụ:

5; 9; 13; 17; 21

Ta tính:

9 – 5 = 4
13 – 9 = 4
17 – 13 = 4
21 – 17 = 4

Các hiệu đều bằng 4 nên đây là một cấp số cộng với d = 4.

Với dãy:

2; 6; 12; 20; 30

ta có:

6 – 2 = 4
12 – 6 = 6
20 – 12 = 8

Các hiệu không giống nhau nên dãy trên không phải cấp số cộng.

Cách tìm số hạng còn thiếu trong cấp số cộng

Khi đề bài cho một số hạng và công sai, việc tìm số hạng còn thiếu có thể thực hiện trực tiếp bằng công thức tổng quát.

Ví dụ:

Cho u1=7u₁ = 7, d=5d = 5. Tìm u15u_{15}.

Áp dụng:

u15=7+(15−1)×5u₁₅ = 7 + (15 – 1) × 5

u15=7+70=77u₁₅ = 7 + 70 = 77

Vậy u15=77u₁₅ = 77.

Trường hợp đề bài cho hai số hạng nhưng chưa biết công sai, hãy tìm dd trước rồi mới sử dụng công thức số hạng tổng quát.

Tính chất của các số hạng trong cấp số cộng

Một tính chất quan trọng cần nhớ là số hạng nằm giữa hai số hạng khác trong cấp số cộng bằng trung bình cộng của hai số hạng đó.

Nếu ba số a,b,ca, b, c liên tiếp tạo thành cấp số cộng thì:

2b = a + c

hay:

b = (a + c)/2

Ví dụ, ba số 7; 11; 15 tạo thành cấp số cộng vì:

11 = (7 + 15)/2

Tính chất này thường được sử dụng để tìm số chưa biết trong những bài toán yêu cầu xác định các số tạo thành một cấp số cộng.

Cấp số cộng tăng và cấp số cộng giảm

Dựa vào giá trị của công sai, có thể nhận biết xu hướng của dãy:

• Nếu d > 0, cấp số cộng tăng dần.
• Nếu d < 0, cấp số cộng giảm dần.
• Nếu d = 0, mọi số hạng đều bằng nhau.

Ví dụ:

2; 5; 8; 11; … có d=3d = 3 nên là cấp số cộng tăng.

20; 16; 12; 8; … có d=−4d = -4 nên là cấp số cộng giảm.

6; 6; 6; 6; … có d=0d = 0, các số hạng không thay đổi.

Việc xác định dấu của công sai giúp học sinh nhanh chóng nhận biết chiều biến thiên của dãy số.

Cách giải bài toán cấp số cộng nhanh và chính xác

Khi gặp một bài toán về cấp số cộng, có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định số hạng đầu u1u₁, công sai dd và số lượng số hạng nn.

Bước 2: Nếu chưa biết công sai, tìm dd từ các số hạng đã cho.

Bước 3: Chọn công thức phù hợp với yêu cầu của đề.

Bước 4: Thay số và tính toán cẩn thận.

Bước 5: Kiểm tra lại kết quả bằng cách đối chiếu với quy luật của dãy.

Không nên áp dụng máy móc một công thức cho mọi trường hợp. Nếu đề yêu cầu tìm số hạng, ưu tiên công thức unu_n; nếu cần tính tổng, sử dụng SnS_n; nếu đã biết hai số hạng ở hai vị trí khác nhau, có thể tìm công sai trước.

Bài tập về cấp số cộng có lời giải

Bài 1: Xác định công sai

Cho dãy số:

10; 15; 20; 25; 30; …

Tìm công sai.

Lời giải:

d=15−10=5d = 15 – 10 = 5

Kiểm tra:

20 – 15 = 5

Vậy công sai của cấp số cộng là d = 5.

Bài 2: Tìm số hạng thứ 12

Cho cấp số cộng có u1=6u₁ = 6, d=4d = 4. Tìm u12u₁₂.

Lời giải:

u12=6+(12−1)×4u₁₂ = 6 + (12 – 1) × 4

u12=6+44=50u₁₂ = 6 + 44 = 50

Vậy u₁₂ = 50.

Bài 3: Tính tổng

Cho cấp số cộng có u1=5u₁ = 5, d=2d = 2. Tính tổng 15 số hạng đầu tiên.

Lời giải:

Tìm số hạng thứ 15:

u15=5+14×2=33u₁₅ = 5 + 14 × 2 = 33

Do đó:

S15=15(5+33)/2=285S₁₅ = 15(5 + 33)/2 = 285

Vậy tổng cần tìm là 285.

Bài 4: Tìm công sai khi biết hai số hạng

Cho u4=14u_4 = 14 và u9=29u_9 = 29. Tìm công sai.

Lời giải:

d=(29−14)/(9−4)d = (29 – 14)/(9 – 4)

d=15/5=3d = 15/5 = 3

Vậy d = 3.

Bài 5: Tìm ba số tạo thành cấp số cộng

Biết tổng của ba số là 30 và số ở giữa lớn hơn số đầu 2 đơn vị. Tìm ba số đó.

Lời giải:

Gọi ba số lần lượt là:

a – 2; a; a + 2

Theo đề bài:

(a−2)+a+(a+2)=30(a – 2) + a + (a + 2) = 30

3a=303a = 30

a=10a = 10

Ba số cần tìm là:

8; 10; 12

Những lỗi cần tránh khi áp dụng công thức cấp số cộng

Trong quá trình làm bài, một số lỗi thường xuất hiện do nhầm giữa vị trí của số hạng và giá trị của số hạng. Khi sử dụng công thức un=u1+(n−1)du_n = u_1 + (n-1)d, cần nhớ rằng hệ số đi cùng công sai là n – 1, không phải n.

Ngoài ra, khi tính tổng, cần xác định chính xác số lượng số hạng đang được cộng. Với cấp số cộng có công sai âm, cũng cần giữ nguyên dấu của dd trong quá trình tính toán.

Một cách kiểm tra đơn giản là lấy kết quả vừa tìm được trừ số hạng đứng trước. Nếu hiệu không bằng công sai đã xác định, cần kiểm tra lại phép tính.

Tổng hợp công thức cấp số cộng cần ghi nhớ

Để thuận tiện ôn tập, có thể hệ thống các công thức quan trọng như sau:

Nội dung	Công thức
Số hạng kế tiếp	un+1=un+du_{n+1}=u_n+d
Số hạng thứ n	un=u1+(n−1)du_n=u_1+(n-1)d
Công sai	d=un+1−und=u_{n+1}-u_n
Công sai từ hai số hạng	d=(un−um)/(n−m)d=(u_n-u_m)/(n-m)
Tổng n số hạng đầu	Sn=n(u1+un)/2S_n=n(u_1+u_n)/2
Tổng theo u1,du_1,d	Sn=n[2u1+(n−1)d]/2S_n=n[2u_1+(n-1)d]/2
Ba số liên tiếp	2un=un−1+un+12u_n=u_{n-1}+u_{n+1}

Kết luận

Công thức cấp số cộng không quá khó nếu nắm được ba nội dung cốt lõi: xác định công sai, tìm số hạng thứ nn và tính tổng các số hạng đầu tiên. Từ những quy tắc này, bạn có thể giải quyết nhiều dạng bài từ nhận biết dãy số đến các bài toán tìm số chưa biết.

Khi luyện tập, hãy chú ý xác định dữ kiện trước khi chọn công thức và luôn kiểm tra lại kết quả. Việc làm nhiều dạng bài khác nhau sẽ giúp bạn ghi nhớ công thức lâu hơn và xử lý bài toán nhanh, chính xác hơn.